Cálculo III

CFO305 — 4 créditos

Publicado el 20/03/2022 por Richard y David ‐ 4 min. de lectura

¿Qué temas se ven en Cálculo III?#

El curso de cálculo III se puede dividir de manera general en los siguientes temas (sílabo):

• Funciones Vectoriales
• Función Real de Variable vectorial
• Integrales Múltiples
• Cálculo Vectorial

Desarrollando más a profundidad cada tema mencionado anteriormente:

Funciones vectoriales#

En esta parte del curso se estudian las funciones que utilizan vectores como valores, y estas funciones son necesarias para poder describir tanto curvas como superficies en el espacio.

Vectores en $\mathbb{R}^n$#

En este apartado se detallan sobre los vectores el cual es un concepto fundamental para el estudio del cálculo de funciones de varias variables.

1. Definición de Vector: Los vectores son objetos matemáticos que tienen módulo, dirección y sentido. Se puede representar gráficamente a cualquier vector mediante una flecha.

   

   Un vector en $\mathbb{R}^3$ es una terna ordenada de números reales, y se denota de la siguiente forma:

   $$\vec{u}=(x,y,z)$$

   Y de manera general para un vector en $\mathbb{R}^n$ primero se define el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ el cual se denota como el conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales, así $\mathbb{R}^n:(x_1,x_2,x_3,\ldots ,x_n)$ donde $x_i \in \mathbb{R}$, $1\leq i \leq n$. Los elementos de $\mathbb{R}^n$ también se suelen denominar vectores de orden $n$.

   • Ejemplo de Vector en $\mathbb{R}^n$:

     $$\vec{u}=(u_1,u_2,u_3,\ldots,u_n)$$

     Norma de un vector

     La norma o longitud de un vector $\vec{u}=(u_1,u_2,\ldots,u_n)$, esta definida como: $$|\vec{ u} |=\sqrt{u_1^2+u_2^2+\ldots+u_n^2}$$
     Distancia entre dos puntos

     Sean $\vec{u}=(u_1,\ldots,u_n)$ y $\vec{v}=(v_1,\ldots,v_n)$ los puntos los cuales se desea conocer la distancia entre ambos: $$d(\vec{v},\vec{u})=|\vec{v}-\vec{u}|=\sqrt{(v_1-u_1)^2+\ldots+(v_n-u_n)^2}$$
     Producto punto

     Teniendo los vectores $\vec{u}=(u_1,\ldots,u_n)$ y $\vec{v}=(v_1,\ldots,v_n)$ en $\mathbb{R}^n$, se define el producto punto o escalar como: $$\vec{u} \cdot \vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+\ldots+u_nv_n=\sum_{i=1}^n u_iv_i$$
     Producto cruz

     Teniendo los vectores $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ se define el producto vectorial de dos vectores en $\mathbb{R}^3$ como: $$\vec{u} \times \vec{v}=\left | \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right|$$
     Funciones vectoriales de una variable real

     Aquí nos referimos a aquellas funciones vectoriales las cuales tienen su dominio en un subconjunto de $\mathbb{R}$ y un contradominio en un espacio vectorial $\mathbb{R}^n$.

     De este modo una función vectorial $f$ asocia a cada elemento $t$ de un conjunto $\mathbb{D}$ de números reales, un único vector $f(t)$.

     $$\begin{aligned} f:\mathbb{D} & \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n\\ t & \rightarrow f(t) \\ f(t) = [ x_1 (t) &, x_2 (t), \ldots , x_n (t) ] \in \mathbb{R}^n \end{aligned}$$

     Dominio de una función vectorial

     El dominio de una función vectorial $f(t)$ esta referido a aquellos valores permitidos por $t$.

     Si $f(t)$ esta definida en términos de las funciones de las componentes y no esta especificada explícitamente el dominio, entonces se entiende que el dominio es la intersección de los dominios naturales de las funciones de las componentes, por lo que este recibe el nombre de dominio natural de $f(t)$: $$f(t)=(x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t)) \in \mathbb{R}^n$$ Entonces su dominio es: $$Dom(f)=\bigcap_{i=1}^n Dom(x_i(t))$$

     Limite y continuidad de una función vectorial

     El límite de una función vectorial $f$ se define tomando los límites de sus funciones componentes: Si $f(t)=(x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t)$, entonces

     $$\lim_{t \rightarrow a}=\left ( \lim_{t \rightarrow a} x_1(t), \lim_{t \rightarrow a} x_2(t),\ldots, \lim_{t \rightarrow a} x_n(t) \right)$$

     Siempre y cuando los límites de las funciones componentes existan.

     También se tiene que una función vectorial $f$ será continua si se cumple que:

     $$\lim_{t \rightarrow a} f(t)=f(a)$$

     Funciones vectoriales y curvas en el espacio
     Derivadas e integrales de funciones vectoriales
     Longitud de arco y curvatura

Función real de variable vectorial#

Integrales Múltiples#

Cálculo Vectorial#

Libros#

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